螺旋与数学碰撞出的绚烂火花

Joy01

螺旋大概是最有美感的非对称图案了，我们在流水的旋涡中看到它，在蜗牛的背壳上看到它，也在古老的陶器上看到它。但要认真了解它们，我们还得从数学描述开始。
) q) T6 B, E. t) D6 d8 }. ?/ G& T
螺旋是指带有螺线的图案，或者说，动点在环绕定点作圆周运动的同时逐渐远离定点时形成的曲线。用不同的速度环绕和远离定点，螺线也有数不清的种类，在本期节目中，我们只介绍最简单，也最常见的两种螺线：等速螺线和等角螺线。
! u5 }% |* H- O" u% n6 r
* E) x1 h7 W4 e7 ~0 r5 k" n对于等速螺线，动点以恒定的速度远离定点，并以恒定的角速度环绕定点，由此形成了一种非常均匀的螺线，那么显然的，从定点向外发射一条射线，那么它被螺线截得的最短线段都等长，或者说，螺线之间的空隙宽度恒定，可以容纳一个圆形在其中紧凑地滑动。

在那个工艺粗陋的时代，我们的先民广泛地利用这个性质，用赭石在陶器上一圈圈地描，用利器在石头上一圈一圈地刻，或者把金属条一圈圈盘起来，就能形成一条条美妙的等速螺线，这构成了从新石器时代直到青铜时代流行于每个文明中的旋纹。其中某些旋纹还一直遗留到了现代，比如佛教的万字纹、道教的太极图、日本的巴纹。
) E; s- k  e8 R- q2 \" u+ m
- P* Z! @4 B' Z7 U# N等速螺线在古典时代就受到数学家的注意，它又有一个别名叫“阿基米德螺线”，古希腊遗留至今的尺规作图三大难题中，如果破例允许使用等速螺线，那么三等分角问题就能迎刃而解：首先将画出待分割的角，然后以角的顶点O为起点，作等速螺线与一边相切，并与另一边相交于A点，接着用三段圆弧三等分线段OA，并与等速螺线交于B和C，那么OB和OC就三等分了已知角——而且证明这个解法也只需“显然”二字。

" ?$ y3 B; `& c/ x# t  O4 o另外，在现代工业中，等速螺线这种等间距的特性也有巧妙应用：涡旋式压缩机广泛应用于汽车、空调、真空泵，它的核心部件就只是两个间距相同的等速螺线，它们在相对滚动的同时保持每半个周期相切一次，这就形成了一对沿着螺线向内逐渐缩小的太极形压缩腔，并在中心部位排放出去。这种压缩机部件更少、体积更小、效率也更高、可靠性也更好，应用越来越广。
. I6 S% Y6 T7 r
1 I$ D6 d' g8 w& o另一种螺线是等角螺线，动点相对于定点的连线，以恒定的角度旋转离开时形成的螺线。等角螺线因此获得了一种相当特殊的性质：放大后能与自己重合，或者，等角螺线之间的形状恒定，能容下一个物体一边放大一边滑动——这对大自然中的生物来说实在太有用了，尤其是对软体动物。
6 E9 V  c0 L! Y6 l+ R
0 [$ C6 V3 M  s* z它们贝壳主要由石灰构成，没有弹性，必须随着身体长大不断分泌新的外壳，很多早期软体动物因此长成了修长圆锥，不但重心不稳，而且容易折断。于是某些发育畸形的软体动物反而占了便宜：它们的贝壳卷了起来，有效节省了空间，增大了强度，而且卷得越紧越占便宜，连贝壳的材料都能节省很多——最终，这些贝壳的剖面就进化成了等角螺线：因为贝壳内的软组织一直在以固定的形状缓慢长大。
. z& b; `% z& g1 Q0 C: ?
所以不难理解，为什么等角螺线又被称为生长螺线。各种螺旋生长的生物组织，往往都会形成这种图案，就连植物顶端也能形成等角螺线的包络，因为新的生长点总是更小更少。
7 u* y  z" E! O  y5 R+ u9 b
在另一个经典的例子中，一些生物却因此遭了殃：许多夜间活动的昆虫用月光导航，因为月光相对地面可以看作平行光，只要与月光保持固定的夹角，就能直线飞行了。但是在一盏烛火面前，事情就不一样了：烛光是点光源，相当于从定点发出的无数射线，当飞蛾继续与光线保持固定夹角飞行，就会沿着一条等角螺线钻进光源，烧死了。
8 O. D7 M: [2 r1 E& J3 @
因此要特别注意：趋光性是指生物向着光源运动，但那些扑火的飞蛾始终与光源保持着固定的角度，而没有向着它飞，所以严格地说，飞蛾扑火并不是向光性。